Inecuaciones cuadráticas.
Inecuaciones cuadráticas o de segundo grado son desigualdades donde la variable de mayor exponente tiene grado dos (2).
Una inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la variable tiene exponente 2 y es en su forma general de una de las formas siguientes ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c ; 0, también puede tener el signo de desigualdad (d≥ bx + c), pero se puede llevar a una de las formas anteriores haciendo transformaciones equivalentes.Definición
Ejemplo de inecuación cuadrática
x2 + 2x < 15 y 4x2 ≥ 12x -9
Sugerencias para resolver inecuaciones cuadráticas
- Escribe la inecuación en su forma general, es decir comparada con cero.
- Halla los ceros de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 (Por Descomposición en factores o por la fórmula del discriminante). Si el Discriminantes menor que cero la solución es todos los reales o no tiene solución, dependiendo de la desigualdad y del signo de ¨a¨.
- Representa esos ceros en una Recta numérica.
- Analiza el signo de ese Trinomio en los Intervalos determinados por los ceros, evaluando el Polinomio en valores cómodos de esos intervalos o ubicando los signos de derecha a izquierda (Si a>0 comienza con el signo más y alternando menos y luego más, si a < 0 comienza con menos y de igual forma alterna, el siguiente gráfico hace referencia en caso de ¨ a ¨ positivo).
- Escribe la solución en notación de intervalo, teniendo en cuenta que si la desigualdad es estricta los ceros no se incluyen y en caso contrario se incluyen en la solución.
Nota importante: Después de comparar con cero se obtiene una Función cuadrática y por eso es que se buscan sus ceros y se hace el análisis de los signos de dicha función en esos Intervalos, ya que la función cuadrática representa una Parábola que puede abrir hacia arriba o hacia abajo según el signo de a. Gráfico de una parábola
Ejemplo resuelto
Halla la solución de la siguiente inecuación cuadrática.
1) x2 – 2x > 3
Respuesta.
1. x2 – 2x – 3 > 0
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x+1) = 0 x = -1 ó x = 3
Rta. x Real: x > 3 ó x < -1 También se puede dar la respuesta en forma de intervalo
S = ]-∞, -1[ U ] 3,+∞[
Método para resolver inecuaciones cuadráticas
Para resolver una inecuación de la forma:
- Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que la inecuación quede de la forma
- Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.
- Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.
- Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
- La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:
- Como intervalo
- Como conjunto
- Gráficamente
Ejemplos
Ejemplo 1:
Resolver la siguiente inecuación Solución:
| Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general En este caso, la inecuación ya se encuentra escrita en su forma general. | |||||||||||||
| Paso 2: Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática. | |||||||||||||
| Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica. | |||||||||||||
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Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
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| Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser La solución se puede expresar de distintas formas:
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Ejemplo 2:
Solución:
| Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general. Para ello necesitamos que el lado derecho de la inecuación sea igual a cero. Aplicando propiedades de desigualdades podemos realizar operaciones para obtener la forma general. | |||||||||||||
| Paso 2: Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática. | |||||||||||||
| Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica. | |||||||||||||
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Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
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| Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser La solución se puede expresar de distintas formas:
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Ejemplo 3:
Solución:
| Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general. En este caso, la inecuación ya se encuentra escrita en su forma general. | ||||||||||
| Paso 2: Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática. | ||||||||||
| Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica. En este caso solo tenemos un punto de prueba. | ||||||||||
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Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
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| Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que ambos intervalos cumplen con ser La solución se puede expresar de distintas formas:
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